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01 | 2016 NEWS

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Zinsrisikoberechnung 2.0

Zinsrisikoberechnung 2.0 Verbesserte Zinsrisikoberechnung durch Berücksichtigung von Zinsvolatilitäten – Teil 2 von Rainer Alfes und Christine von Bank Im ersten Artikel 1 dieser zweiteiligen Reihe haben die Autoren gezeigt, warum die Berechnung und Steuerung des Zinsänderungsrisikos durch die Berücksichtigung von Zinsvolatilitäten in vielen Banken wesentlich verbessert werden kann. Im vorliegenden zweiten Teil stellen sie ein modernes und praxiserprobtes Verfahren vor, das es ermöglicht, die Historie der Zinsvolatilitäten mit mathematischen Methoden zu verlängern, um ein konsistentes Risikomanagement für das gesamte Zinsbuch zu gewährleisten. Zinsvolatilitäten im Risikomanagement Viele Banken halten in ihrem Zinsbuch volatilitätssensitive Positionen, etwa Caps und Floors zur Absicherung gegen steigende beziehungsweise fallende Zinsen, Kapitalmarktfloater zur Diversifikation oder Swaptions und andere Zinsoptionen zur Abbildung der rational ausgeübten impliziten Optionen im Risikomanagement und zur Absicherung dieses Optionsbuchs. Im ersten Teil wurde gezeigt, wie wichtig für solche typischen Positionen des Zinsbuchs eine Betrachtung der Zinsvolatilität ist. Je nach Position kann aus sich ändernden Volatilitäten ein Gewinn oder ein Verlust resultieren, selbst wenn alle anderen Marktparameter unverändert bleiben. Die Zinsvolatilität sollte in solchen Fällen also bei der Messung und Steuerung des Zinsbuchs berücksichtigt werden. Das gilt nicht nur für einfache Szenariorechnungen, sondern insbesondere auch für die Berechnung des Zinsbuch-VaR. 1 NEWS Ausgabe 3/2015. Sachgerechte Volatilitätsszenarien Um sachgerechte Volatilitätsszenarien ermitteln zu können, ist eine ausreichend lange Historie der Zinsvolatilitäten erforderlich. Das betrifft in besonderer Weise auch die automatische Ableitung von Volatilitätsszenarien im Rahmen der historischen Simulation. Die bei Marktdatenanbietern wie Bloomberg oder Reuters verfügbaren Historien für Zinsvolatilitäten reichen meist nicht so lange in die Vergangenheit wie die Zinshistorien. Eine Bank, die das Zinsänderungsrisiko über eine historische Simulation berechnet, steht deshalb vor der Frage, welcher historische Zeitraum zum Ableiten der Marktszenarien verwendet werden sollte: der kürzere Zeitraum der historischen Zinsvolatilitäten oder der längere Zeitraum der historischen Zinsen? Oft wäre der längere Zeitraum wünschenswert. Allerdings liefert die historische Simulation über diesen Zeitraum nur sachgerechte Ergebnisse, wenn auch die Historie der Zinsvolatilitäten mit einem geeigneten Verfahren verlängert werden kann. Eine historische Simulation, die Volatilitätsszenarien für einen Teil des betrachteten historischen Zeitraums oder für den Gesamtzeitraum unberücksichtigt lässt, kann für volatilitätssensitive Positionen zu einer Fehleinschätzung, auch zu einer Unterschätzung, des Risikos führen, wie im ersten Teil gezeigt wurde. Ermittlung der Zinsvolatilitäten aus einer Zinshistorie Vor diesem Hintergrund wird ein Verfahren gesucht, mit dem – ausgehend von einer Zinshistorie – eine „passende“ Volatilitätshistorie berechnet werden kann. Hier geht es für jeden einzelnen Stichtag der Vergangenheit nicht um rein historische Volatilitäten zu einer 30 I NEWS 01/2016

Unternehmenssteuerung t gegebenen Zinslaufzeit, sondern um die erwarteten Volatilitäten für einen Zeitraum, der der Restlaufzeit einer Zinsoption entspricht, also um die Volatilitäten, die in Optionspreisen implizit enthalten sind. Zur Bestimmung solcher Volatilitäten existieren verschiedene Modelle, die gegebene Zeitreihen statistisch beschreiben. Wichtig ist, dass diese Modelle mit einer über die Zeit variierenden Volatilität umgehen können. Als besonders geeignet haben sich für diese Zwecke die sogenannten GARCH-Modelle 2 erwiesen. Sie können gut das Verhalten von Finanzzeitreihen mit ruhigen Perioden geringer Ausschläge und volatilen Perioden aufeinanderfolgender großer Ausschläge abbilden. Die Volatilität einer Zeitreihe entspricht der Standardabweichung für die Renditen der Zeitreihe. Die Annahme einer zeitlich variierenden Volatilität der Zinszeitreihe entspricht somit der Annahme einer zeitlich variierenden Varianz ihrer Rendite. GARCH-Modelle gehen davon aus, dass die bedingte Varianz der zugrunde liegenden Zeitreihe von den vergangenen Beobachtungen der Zeitreihe selbst und von der bedingten Varianz der Vorperioden abhängt. Definition: Das GARCH(p,q)-Modell wird durch folgende Gleichungen beschrieben: y t = Ɛ t + μ t Ɛ t = v t σ t q p σ 2 t = α 0 + ∑ α i Ɛ2 t-i + ∑ ß i σ2 t-i i=1 i=1 Hierbei bezeichnet y t die Rendite der Zeitreihe, μ t den Mittelwert der Renditen, v t eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und σ 2 t die bedingte Varianz der Renditen. Die unbekannten Parameter α 0 , α 1 und ß 1 des GARCH-Modells sind jeweils ≥0. Sie können mithilfe der sogenannten Maximum- Likelihood-Methode geschätzt werden, die in der Statistik häufig verwendet wird. Beispiel Die Berechnung der Zinsvolatilitäten soll im Folgenden beispielhaft für den Zwei-Jahres-Zinssatz und eine Optionslaufzeit von einem Jahr dargestellt werden. Wie im ersten Teil dieses Artikels werden die Volatilitäten auf Basis der relativen Zinsänderungen berechnet. Die relative Änderung der Zinssätze Z t entspricht näherungsweise der Differenz der Logarithmen: y t = InZ t - InZ t-1 Für jeden Stichtag wird für ein Intervall von 250 Handelstagen – entsprechend der Optionslaufzeit von einem Jahr – jeweils eine bedingte Varianz berechnet. Dafür werden zunächst die Parameter α 0 , α 1 und ß 1 mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt. Anschließend werden die täglichen Varianzen σ t2 : t = 1,…250 mithilfe des skizzierten GARCH(1,1)-Modells ermittelt. 3 Die Wurzel der gemittelten Varianzen ergibt die Volatilität der Zinszeitreihe zum Stichtag. Dieses Verfahren wird für alle Stichtage des aufzufüllenden historischen Zeitraums wiederholt. Auf diese Weise kann für eine Zinszeitreihe von beispielsweise 16 Jahren eine Volatilitätszeitreihe von 15 Jahren berechnet werden. Wird das skizzierte Verfahren auf unterschiedliche Zins- und Optionslaufzeiten angewandt, erhält man Volatilitätsmatrizen, die für Risikoberechnungen geeignet sind. Zinszeitreihen können bereits durch ein GARCH(1,1)-Modell recht gut beschrieben werden. Für die bedingte Varianz gilt in diesem Fall: σ t 2 = α 0 + α 1 Ɛ 2 t-1 + ß 1 σ 2 t-1 2 GARCH steht für Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. 3 Für die Umsetzung des hier beschriebenen Verfahrens ist die freie Programmiersprache „R“ besonders gut geeignet, die für statistische Anwendungen entwickelt wurde. NEWS 01/2016 I 31

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